يقدم هذا الدرس مشتقة الدالة الأسية الطبيعية \( e^x \) باستخدام تعريف النهاية. نغطي أيضاً مشتقة الدوال الأسية المركبة من الشكل \( e^{u(x)} \)، بما في ذلك الأمثلة المفصلة والحلول.
1. برهان مشتقة \( e^x \) باستخدام تعريف النهاية
تعريف مشتقة الدالة \( f(x) \) هو:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
لنفرض أن \( f(x) = e^x \). إذن:
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \quad \text{(باستخدام } e^{x+h} = e^x e^h \text{)} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h} \\
&= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}
\end{aligned}
\]
نحسب الآن النهاية \( \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \). لنفرض أن \( y = e^h - 1 \)، بحيث يكون \( \lim_{h \to 0} y = 0 \). إذن:
\[ e^h = y + 1 \implies h = \ln(y + 1) \]
\[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(y+1)} \]
\[ = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{y} \ln(y+1)} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\ln((y+1)^{1/y})} \]
باستخدام تعريف ثابت أويلر \( e \):
\[ e = \lim_{m \to 0} (1 + m)^{1/m} \implies \lim_{y \to 0} (y+1)^{1/y} = e \]
\[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \frac{1}{\ln e} = 1 \]
الصيغة:
\[ f'(x) = e^x \]
خلاصة: أي دالة من الشكل \( f(x) = k e^x \)، حيث \( k \) ثابت، لها نفس المشتقة مضروبة في \( k \).
2. مشتقة الدالة المركبة \( y = e^{u(x)} \)
بالنسبة للدالة \( u(x) \)، نستخدم قاعدة السلسلة:
\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = \frac{d}{du} e^{u} \cdot \frac{du}{dx} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]
صيغة قاعدة السلسلة:
\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]
3. أمثلة مع الحلول
أمثلة محلولة: اشتقاق الدوال الأسية المركبة
أوجد مشتقات الدوال التالية:
- \( f(x) = e^{x^3 - 2x + 3} \)
- \( g(x) = e^{\sqrt{x^2 + 1}} \)
- \( h(x) = e^{\frac{x}{x-2}} \)
الحلول:
-
\( u(x) = x^3 - 2x + 3 \implies \frac{du}{dx} = 3x^2 - 2 \)
\[ \frac{d}{dx} f(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = (3x^2 - 2) e^{x^3 - 2x + 3} \] -
\( u(x) = \sqrt{x^2 + 1} \implies \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
\[ \frac{d}{dx} g(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, e^{\sqrt{x^2 + 1}} \] -
\( u(x) = \frac{x}{x-2} \implies \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \)
\[ \frac{d}{dx} h(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \, e^{\frac{x}{x-2}} \]